私的ユリイカノート

at random, memo random

ふとしたことで思いついた事柄を記した雑文。テーマは乱雑であり、内容は「極小モノグラフ」的である。

• 原始関数と不定積分 (pdf)
  • 原始関数と不定積分は，同じものなのかそれとも何か違うのか？同じものならば２つの単語が用意されているはずもないだろうし，違うとしたらその違いの本質は何か，なんてことがまとめられればいいだろうなと思い書き始めた．そして，微分積分学の基本定理，さらにいえば関数の連続性というものの有用さにあらためて気がついた．Darboux の定理については，最初はこちらの補遺として書いていたのだけれど，分量と内容の独立性から，別立てにしたのであった．そして，Darboux がひとまず終わったので，こちらを仕上げた．でもそれでも補遺が３個になって，それなりの分量にもなっている．
  • 2023/12/03
• Darboux の定理による積分世界の構築 (pdf)
  • イントロダクションの最初の囲みの定理のところで、I の範囲を示してない。それゆえ積分区間がどうして [a, b] になるのか判明しない、という欠点をなおした（2024/02/03）。
  • 積分世界の構築とは大きくでたが，それはともかく，Darboux の定理の証明は面白かった．Reimann 和との関係もよく見えてきた．
  • 2023/11/20
• 極限計算のあれこれ (html)
  • 極限計算の処方をまとめてみたもの。Darboux の定理を書いていて、個人的に極限計算ですっきりしないことがあったので、きちんとまとめてみた。この過程で黒田さんの PDF にたどり着いたのは幸運だった。
  • 2023/11/14
• $\alpha$ と $\beta$ が等しいということの $\varepsilon$ 論法による表現 (html)
  • 実数が等しいということの定義の論理式をかいてみた。
  • 2023/11/14
• $1/(1 + y^4),\; y^2/(1 + y^4)$ の積分の実況中継 (pdf)
  • 何回もやりたくはない結構面倒な積分の計算を記した備忘録的な位置付けのメモ．
  • 2023/06/29
  • html で書いたものが見つかった（作成日は 2019/07/15 となっている）．すっかり失念していた．
• フィボナッチ数列の一般項 (html)
  • 著名なフィボナッチ数列の一般項の求め方をあれこれ調べて、結果、「３項間漸化式の解き方」みたいなものになった。しかしこの量の html のドキュメントになると、mathjax のロードに時間がかかってしまうな。
  • 2022/12/19
• 微分と積分の順序交換（ブログ）
  • ルベーグは食わず嫌いなのか？本当に一様収束でいいのか？
  • 2022/09/01
• 摂動計算(perturbation) (pdf)
  • 摂動計算の手順を、２次方程式と固有値方程式についてまとめてみたもの。固有値方程式については、実質、朝永振一郎の『角運動量とスピン』の写経である。計算の複雑度が高かったので、初稿（2015/02/14）の時は LaTeX でも苦労した記憶があるのだが、今回の整理ではあまり苦労でもなかった。LaTeX に７年分馴染んだから？
  • 2022/08/08
• 偏微分コメンタール (pdf)
  • 下にある変換・不変・共変教室 —- 関数と変数変換に焦点をあてて(pdf)の付録Bを独立させたもの。私個人がしばしばこの付録を参照するので、独立させた（そして、少し加筆もした）。これも初稿は 2015 年である。
  • 2022/08/01
• ラグランジュの未定乗数法 コメンタール (pdf)
  • 情報理論や確率論を勉強しているときによく出くわすので、手順だけではなくその背景まで含めて一度きちんとまとめようと思って書いたもの。初稿は 2015 年。仕上げをサボっていた。
  • 2022/07/30
• $\sum k^3 = (\sum k)^2$（ブログ）
  • 2021/05/09
• 複素数の複素数乗、i^i^i^‥‥の計算 (html)
  • 純虚数 $i$ の $i\verb#^# i\verb#^# \cdots \verb#^#i$ が一点に収束するらしいことを書いたもの。超簡単な C と gnuplot が使われている。書きおえたときには Bowie の Five Years がかかっていた。数理的な内容については複素｛指数関数、対数関数｝の世界のさわり (html)と指数法則再考 (html)に簡単にまとめた。
  • 2020/05/05
• 指数関数を作る（ブログ）
  • 解析概論（高木貞治著）への疑問もかいてみた。
  • 2020/05/12
• 驚きの少数 1/81（ブログ）
  • パーフェクトとは言い難い説明。
  • 2020/05/05
• 複素｛指数関数、対数関数｝の世界のさわり (html)
  • 主値のところの間違いを修正（$Log$ ではなく $\log$ なのであった。2020/06/06）。
  • 最初は、下の「指数法則再考」の appendix として書いていたもの。それなりの分量になったので、独立させた。どちらも、書いている時は Eno の LUX を良く聴いていた。
  • 2020/05/03
• 指数法則再考 (html)
  • 「指数が有理数のとき」のまとめに、不要な backslash 記号『\』があったので、消した（2020/06/13）。
  • 複素数の指数法則、とりわけ、$(z^\alpha)^\beta$ の生態を今一度復習するのが最初の目的であったのだけれど、自然数の指数から書き始めたら、おもったより長くなってしまった。
  • 2020/05/02
• 三角関数と双曲線関数の森（只今修正中なのでコンテンツなし）
• 関数の大人の書き方（ブログ）
  • 2018/05/13
• Taylor 展開の利用法 (pdf)
  • ほぼ同様の内容をTaylor 展開の覚え方という表題でブログにも書いた。
  • 2018/01/04
• 関数の停留，極大極小をめぐって (pdf)
  • どのような動機でこれを書いたのか、もう忘れてしまった。最小作用の原理やら変分原理やらを考え直していた時にまとめたんだと思う。近傍のところがちょっと（かなり？）てきとうだなあと感じている。
  • 2015/05/05
• year clock（１年時計）
  • 生まれて始めて書いた JavaScript プログラム。ファイルの日付を 2012/8/8 とある。HTML5 の canvas を使い始めたのもこの頃だったように思う。

計算はこれでよいのだろうか？

学術書や啓蒙書などを読んでいるなかで、ちょっと気になった数式、一読では理解できなかった数式を実際に計算してみたもの。

• スターリングの公式の素
  • 2011/11/06, revised 2017/05/15
• Dirac のアクロバット
  • 2011/11/06, revised 2017/05/14

体系的な理解をめざして

今一度体系的に理解したいと思ったテーマについて書き上げたもの。右往左往していた学生時代の自分に向けたテキストであると言ってもよいかもしれない（もちろん内容は完全ではないし、不十分なところ、間違っている部分がたくさんあるはずだと思う）。教科書というにはおこがましいのはもちろんであり、ちゃんと勉強したい人はきちんとした教科書にあたるべきであることも、もちろんである。

2020/07/24、hyperref.sty の機能を学んだので、以下のドキュメントにそれを適用した。主として目次にその効果が現れている。また、式番号からその式本体へのリンクや参考文献のリンク、外部 url へのリンクも明示的にわかるようにしてみた。

• 変換・不変・共変教室 —- 関数と変数変換に焦点をあてて(pdf)
  • 物理方面で、「不変」「共変」という言葉がよく出てくるので、変数変換と関数型の変化に焦点をあてて整理しようと目論んで書いたもの。そもそもの動機は、プロローグに書いたように、山本・中村の解析力学の教科書の脚注の理解であった。なかなかうまく概念が掴みきれず、かなり悪戦苦闘したものである。
  • 書いている当時、 わけあって伊藤和夫の英文解釈教室を読んでいた。その影響がタイトルに現れている。
  • 2019/05/02
• 解析学ノート (pdf)
  • 微分と変分の順序交換を導くことが目的であった、最初は。そして微積分の「現代性」と「古典性」にまで筆が伸びた。
  • 積分のところがちょっと弱いかもしれない。積分関数というものにはもう少し触れるべきであったと思うし、微分と積分の順序交換（積分下での微分とも言われる）については全く触れていないし。
  • これを書いていた頃は、よく高瀬正仁の本を読んでいた。そこには

    今日では，理論的枠組みは近代解析に求め，実際の計算では古典解析を踏襲している．このちぐはぐさが露呈して議論の循環が起こるのである．

    とある。なるほどなと頷くことたびたびである。
  • 2015/12/03, revised 2019/03/31
• フーリエ解析備忘録 (v0.1)(pdf)
  • 離散フーリエ変換を理解するということを目的として書き始めた。TeX (LaTeX)と amsmath と gnuplot の練習に明け暮れていた感じであるけれど、出力をみていると、ただただ楽しかった。
  • 2014/12/11, revised 2019/02/09
• エルミート内積空間のスペクトル分解，固有ベクトルと固有関数までの道のり (v0.2) (pdf)
  • 元々は上のフーリエ解析備忘録の一つの章であったが、大きくなりすぎたので、分離独立したもの。
  • 2014/08/30
  • 2019/3/23: 8.2節のタイトルを変更した（基底の変換については言及していないのでそれを削除）。
  • 2019/2/9: p24 のところで $e^{inx}$ としておきながら、$e^{in\Omega x}$ と書いていたのでそこを直した。