実数の等しさは、$\varepsilon$ 論法で次のような論理式としてあらわされる[1]。言われてみればなるほどというものであるけれど、正直なところ何こここまでやらなくとも、というのが第一感であった。数学の世界は厳しい。
$\alpha,\, \beta \in \mathbb{R}$ とする（$\mathbb{R}$ は実数全体の集合）。 このとき、$\alpha$ と $\beta$ が等しい（$\alpha = \beta$）ということは、実数 $\varepsilon$ を使って \begin{align*} \forall \varepsilon > 0\;\bigl( \abs{\alpha - \beta} < \varepsilon \bigr) \implies \alpha = \beta \end{align*} という論理式で表される。
この事柄を証明してみよう。一見してストレートに行きそうもないので、背理法で証明するという戦略を立てる。 見通しをよくするために $\mathcal{P} := \{\forall \varepsilon > 0\;(\abs{\alpha - \beta} < \varepsilon)\},\; \mathcal{Q} := \{\alpha = \beta\}$ とおくと、証明されるべき命題は \begin{align*} \mathcal{P} \implies \mathcal{Q} \end{align*} と書きあらわせる。これを、説明の簡便性のために $\mathcal{R}$ とあらわすことにする。そして背理法の常套手段通り、この否定 $\lnot{\mathcal{R}}$ が真であるとする。つまり \begin{align*} \lnot{\mathcal{R}} = \lnot{\bigl(\mathcal{P} \implies \mathcal{Q}\bigr)} = \lnot{\bigl(\lnot{\mathcal{P}} \lor \mathcal{Q}\bigr)} = \bigl(\mathcal{P} \land \lnot{\mathcal{Q}}\bigr) \end{align*} が真であると仮定するのである。すると、$\lnot{\mathcal{R}}$ が真であるためには、「『$\mathcal{P}$ が真』であり、かつ、『$\lnot{\mathcal{Q}}$ も真』でなければならない」ことになる。
$\lnot{\mathcal{Q}}$ が真でなければならないのだから、$\alpha \neq \beta$ が成り立つ、つまり $\alpha$ と $\beta$ は異なることになる。それゆえ $\abs{\alpha - \beta} > 0$ である。ここで取ってつけたように（証明のために） $\varepsilon^\prime = \abs{\alpha - \beta}/2$ という量を考える[2]。もちろんこれは $0$ より大きい。
さて、$\mathcal{P}$ が真、つまり、$\forall \varepsilon > 0\;(\abs{\alpha - \beta} < \varepsilon)$ が真であるとしているのだから、当然この関係は $\varepsilon^\prime$ でも成り立つはずである。すなわち \begin{align*} \abs{\alpha - \beta} < \varepsilon^\prime \quad\therefore\; \abs{\alpha - \beta} < \abs{\alpha - \beta}/2 \end{align*} でなければならないことになる。ところがこの結果を整理すると \begin{align*} \abs{\alpha - \beta} < 0 \end{align*} となる。これは、絶対値記号の定義に矛盾している。つまり $\lnot{\mathcal{R}}$ を真であると仮定すると、「$\mathcal{P}$ は真」から「（絶対値に対する）矛盾」が導かれてしまうのである。したがって $\lnot{\mathcal{R}}$ は真という仮定は間違いで $\lnot{\mathcal{R}}$ は偽、言い換えれば $\mathcal{R}$ は真ということになって背理法による証明が終わるのである。
少々趣の異なる別の説明も記してみよう。証明したい論理式は \begin{align*} \mathcal{P} \implies \mathcal{Q} \end{align*} だった。$\mathcal{P}$ が偽のときは考えるまでもなくこの命題論理式は真である。なので、$\mathcal{P}$ が真である場合に対してのみ頭を使う。そして背理法の仮定として $\mathcal{P} \implies \lnot{\mathcal{Q}}$ であるとするのである。つまり \begin{align} \forall \varepsilon > 0\;\bigl( \abs{\alpha - \beta} < \varepsilon \bigr) \implies \alpha \neq \beta \end{align} が真であるとするのである。高校時代にお世話になった「結論を否定してその影響をみる」という戦略である。 これが真であるためには、今ここでは $\mathcal{P}$ を真であるとしているのだから、$\alpha \neq \beta$ も真でなければならない、ということになる。そしてここからは上の証明と同じ理路で矛盾が導かれる。結果、$\mathcal{P}$ が真のときには$\mathcal{P} \implies \lnot{\mathcal{Q}}$ は偽。したがって $\mathcal{P} \implies \mathcal{Q}$ は真。
となるのである。
この道筋では、$\alpha = \beta$ を証明するにはその前に絶対値の定義をしておかなければならないことになる。そして $\alpha \ne \beta$ ならば $\abs{\alpha - \beta} > 0$ を認めておかねばならない。とは言ってもそれは絶対値の定義からあきらかだ。$\abs{c} \ge 0$ であり、もし $c \neq 0$ であるならば当然 $\abs{c} > 0$ なのだから。
より丁寧にするならば（そしておそらく本来ならば）、$\alpha,\, \beta$ ともに任意であるということ（すべての $\alpha$ と $\beta$ について、ということである）も付け加えるべきなんだろうと思う。数学の教科書では、このような定理においてことさらにそれに言及しているものを見かけることは多くない。「$\alpha$ と $\beta$ は実数とする」という最初の仁義切りにおいて、暗黙に任意性を含めている。そのくらい察しろよ、というわけか。もちろん $\alpha,\, \beta$ の任意性を付け加えたとしてもて全て丸く治る。やってみよう。 証明すべき命題は、先の $\mathcal{P, Q}$ を利用すれば \begin{align*} \forall \alpha \in \mathbb{R},\forall \beta \in \mathbb{R}\;\bigl(\mathcal{P} \implies \mathcal{Q}\bigr) \end{align*} である。これを $\mathcal{S}$ とあらわすことにしよう。そして背理法を使うために、$\lnot{\mathcal{S}}$ は真であるとする。$\lnot{\mathcal{S}}$ を変形していくと \begin{align*} \lnot{\mathcal{S}} = \lnot\Bigl\{ \forall \alpha \in \mathbb{R},\forall \beta \in \mathbb{R}\;\bigl(\mathcal{P} \implies \mathcal{Q}\bigr) \Bigr\} &= \exists \alpha \in \mathbb{R},\exists \beta \in \mathbb{R}\;\Bigl\{ \lnot{\bigl(\mathcal{P} \implies \mathcal{Q}\bigr)} \Bigr\} \\ &= \exists \alpha \in \mathbb{R},\exists \beta \in \mathbb{R}\;\bigl(\mathcal{P} \land \lnot{\mathcal{Q}}\bigr) \end{align*} となる。先にも見たように、$\mathcal{P} \land \lnot{\mathcal{Q}}$ は矛盾するので、当然のことながらこれを満たす $\alpha,\, \beta$ は存在しない。したがって $\lnot{\mathcal{S}}$ は偽となり、めでたく $\mathcal{S}$ が真となるのである。
ついでに記号 $\forall$ の使い方についてである。上の証明では $\forall \alpha \in \mathbb{R}, \forall \beta \in \mathbb{R}$ と丁寧に書いたが、これはしばしば $\forall \alpha, \forall \beta \in \mathbb{R}$、さらには $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$ というようにも書かれる。これが同じ内容であるということについてはもはや理屈はなく、慣れるよりしょうがない。$\exists$ についても同様に然りである。